下一次範式轉換 - 量子計算透過線性代數精解 (1版)

★量子運算入門：線性代數到量子線路 ★量子位元與狄拉克符號 ★疊加與糾纏的資訊表示 ★布洛赫球與單量子態幾何 ★么正變換與厄米共軛 ★H 閘與包立算符 X/Y/Z ★旋轉閘 RX/RY/RZ 與生成元 ★張量積與多量子位元態 ★CNOT、SWAP、Toffoli、Fredkin ★投影測量、譜分解、特徵分解 ★Deutsch–Jozsa 與 Oracle 模型 ★Grover、QFT、QPE 經典演算法 本書共分十二章 第一章 建立量子運算的背景、核心概念與應用全景 第二章 以複數與矩陣鋪陳向量空間到希爾伯特空間 第三章 說明量子位元、狄拉克符號、相位與布洛赫球 第四章 整理么正變換與 H、包立等基本量子閘 第五章 推導矩陣指數、生成元與 RX/RY/RZ 旋轉閘 第六章 介紹張量積與 CNOT、SWAP、Toffoli、Fredkin 等多位元閘 第七章 以投影算符、特徵分解與譜分解說清楚測量與塌縮 第八章 帶入 Deutsch–Jozsa 與 Oracle 的電路流程 第九章 講解振幅放大的幾何直覺與操作要點 第十章 完整拆解 Grover 搜尋與迭代設計 第十一章 建立量子傅立葉轉換的公式與電路 第十二章 收束於量子相位估計的意義與線路步驟

第 1 章 量子奇旅：計算的新紀元 1.1 從科幻到現實：量子運算的前世今生 1.2 量子魔法揭秘：重新定義量子資訊技術 1.2.1 英雄聯盟：那些改變世界的大人物 1.2.2 糾纏與疊加：量子世界的雙面特務 1.2.3 量子電腦的心智圖 1.2.4 小心前方障礙：量子計算路上的石與坑 1.3 量子運算的舞台：它在這些領域大顯神威 第 2 章 空間的秘密：希爾伯特與歐幾里得的對話 2.1 多維數學的神秘面紗：複數 2.1.1 從線性運算說起 2.1.2 複數的極座標之舞 2.1.3 會「跳舞」的向量：複數加法 2.1.4 旋轉的秘密：複數乘法 2.2 二維世界的「隱秘親戚」：複數與矩陣 2.2.1 複數加法 = 向量加法：簡單又直觀 2.2.2 複數乘法的「魔法揭秘」：旋轉、縮放與矩陣的親密關係 2.3 數學界的上帝公式：歐拉公式 2.3.1 傳統視角：歐拉公式三角函數證明 2.3.2 全新解讀：歐拉公式的矩陣證明 2.4 從有限到無限的「空間變形術」：歐幾里得與希爾伯特 2.4.1 向量的變身術 2.4.2 矩陣的變形記 2.4.3 對應關係的迷宮：矩陣類型 2.5 歐氏空間的矩陣家族 2.5.1 鏡中的自己：實對稱矩陣 2.5.2 旋轉的藝術家：實正交矩陣 2.6 希爾伯特空間的矩陣「家族聚會」 2.6.1 複數世界的對稱美：厄米矩陣 2.6.2 完美的旋轉：么正矩陣 第 3 章 微觀世界的新星：量子位元 3.1 量子語言的「拼音」：狄拉克符號 3.2 量子世界中的小超人：單量子位元 3.2.1 複數與實數的穿越之旅 3.2.2 複數的炫彩調色盤 3.3 單量子位元的幾何探秘 3.3.1 全域相位的奧秘：單量子態 3.3.2 降維的魔法：單量子態 3.3.3 量子態的魔法星球：布洛赫球模型 3.4 量子糾纏的華爾滋：多量子位元 第 4 章 單位元的魔法棒：量子邏輯閘 4.1 量子態的優雅旋轉：么正變換 4.2 量子世界的「鏡像魔術」：厄米共軛算符 4.3 計算的魔法公式：么正變換矩陣 4.4 量子態的分身術：H 閘 4.5 量子態的翻轉與旋轉：包立矩陣（算符） 4.5.1 翻轉的藝術：包立 X 閘 4.5.2 神秘的旋轉：包立 Y 閘 4.5.3 優雅的變換：包立 Z 閘 第 5 章 單量子位元的舞步：旋轉之門 5.1 旋轉的數學語言：矩陣的指數函數 5.2 旋轉的原動力：生成元 5.3 繞 x 軸的旋轉：RX(θ) 閘 5.4 繞 y 軸的旋轉：RY(θ) 閘 5.5 繞 z 軸的旋轉：RZ(θ) 閘 第 6 章 量子魔法的協奏：多量子位元邏輯閘 6.1 量子態的結合術：張量積 6.2 雙人舞的節奏：兩量子位元閘的通用公式 6.3 量子翻轉的開關：CNOT 閘 6.4 量子世界的換位舞蹈：SWAP 閘 6.5 旋轉的魔法橋樑：CR 門 6.6 三重奏的樂譜：三量子位元閘的通用公式 6.7 量子位元的三重奏：Toffoli（CCNOT）閘 6.8 量子控制下的優雅交換：Fredkin（CSWAP）閘 第 7 章 揭密量子測量的奧秘 7.1 從開場到落幕：量子態的神秘演化 7.2 量子的終極命運：測量與塌縮 7.3 測量中的數學基礎：矩陣與量子糾纏 7.3.1 量子計算的基本結構：正規矩陣 7.3.2 量子態的「全景圖」：完備性方程式 7.3.3 將複雜的矩陣變簡單：特徵分解 7.4 量子態的觀察者：投影算符 7.5 解鎖矩陣的「DNA」：譜分解與投影算子的深度關聯 7.6 量子態的定格：投影測量 7.6.1 測量算子揭密 7.6.2 量子世界的「拋硬幣」遊戲：單量子位元測量 7.7 量子運算的「終極揭曉」：量子線路測量方法 第 8 章 量子計算的開篇傳奇：D-J 演算法 8.1 從 Deutsch-Jozsa 問題出發 8.2 量子位元的四重奏：探秘量子運算演算法 8.3 量子運算的關鍵角色：神秘的 Oracle 8.4 第一步量子演算法：Deutsch 演算法 8.5 從 1 到 n：D-J 演算法的升級 第 9 章 量子振幅放大的奇妙之旅 9.1 量子態的幾何之旅：常用幾何變換 9.2 振幅放大技術揭秘 9.2.1 振幅放大算子的奧秘 9.2.2 相位翻轉的驚奇之處 9.2.3 鏡像翻轉的趣味解讀 9.2.4 振幅放大的實際應用 第 10 章 開啟量子搜尋的新時代：Grover 演算法 10.1 資料搜尋的量子革命：Grover 演算法初探 10.2 量子搜尋的魔法工具：Grover 演算法詳解 10.2.1 起點：從初態開始，邁向搜尋之旅 10.2.2 相位翻轉背後的奧秘：量子翻轉 10.2.3 鏡中世界：鏡像翻轉的原理 10.2.4 連續兩次鏡像的奇蹟：量子旋轉 10.2.5 量子搜尋的加速器：Grover 迭代 10.2.6 找到目標的關鍵：疊代次數 k 10.3 繪製量子地圖：Grover 演算法的量子電路 10.3.1 初態的量子製備：演算法的起點 10.3.2 鎖定關鍵目標：目標態的相位翻轉 10.3.3 搜尋效率的保障：平均值鏡像翻轉 10.3.4 數學與量子的交匯：鏡像翻轉的核心原理 第 11 章 頻率的量子視角：量子傅立葉轉換 11.1 傅立葉級數的美學：拆解週期的秘密 11.1.1 圓周運動的投影：傅立葉級數的直觀解讀 11.1.2 週期的形象化表達：頻域圖 11.1.3 從函數到頻譜：頻域分析 11.1.4 頻譜的奧秘揭曉 11.2 訊號的頻率肖像：傅立葉轉換 11.2.1 複數形式下的傅立葉級數 11.2.2 快速傅立葉轉換背後的效率革命 11.2.3 數位訊號處理的幕後英雄：離散傅立葉轉換（DFT） 11.2.4 還原訊號之美：離散傅立葉反轉換 11.3 頻率魔法的量子版：量子傅立葉轉換 11.3.1 二進位與量子態的奇妙關係 11.3.2 QFT 的求和公式解析 11.3.3 QFT 的張量積表示式 11.3.4 二進位展開與量子態製備的奧秘 11.4 量子傅立葉轉換的電路設計 11.4.1 單位元 QFT 電路：入門級解讀 11.4.2 雙位元 QFT 電路：複雜性的小小升級 11.4.3 三位元 QFT 電路：邁向多位元世界 11.5 還原的量子藝術：量子傅立葉逆轉換 第 12 章 解鎖量子世界的相位密碼：量子相位估計 12.1 破解相位密碼的鑰匙：量子相位估計（QPE） 12.2 數字的新表達：二進位分數的表示 12.3 量子態的「指紋」：相位估計的意義 12.4 量子態的相位探測器：相位估計電路 12.5 量子相位的完整解密：線路執行步驟