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【簡介】 [節省時間的數學公式定理速查手冊] AI 機器學習、自動駕駛、機器人、量子電腦等等都是現在經常聽到的詞彙,許多人紛紛投入這些深具未來性的當紅領域。從業者不僅僅是工程師,包括行銷或業務人員也都需要懂,至少數學邏輯觀念一定要足夠才行。 不過,當一般人打算重拾數學時,由於教科書的內容過於冗長,在學習上需要花不少時間,因此本書著重在重要的公式、定理、法則,讓讀者有效率的查閱,將以前學過以及職場上需要用到的數學快速複習。而且小編也會適時補充幫助理解。 此外,本書也適合高中生複習數學之用,省略冗長的推導過程,直接將公式定理等列出,並提醒重要觀念以及各數學主題之間的相關性。作者在各單元也會納入一些商業、工程、影像處理、3D 動畫、AI 機器學習......等範例,讓讀者瞭解學習數學不是只會解題而已,還要知道如何應用。 本書亦考慮到讀者閱讀的舒適性,採用 17公分x23公分尺寸製作,版面要比坊間類似書籍為了節省成本用的 15公分x21公分來得大,文字易讀性自然提高許多,是本書貼心之處。 [各單元的架構] 本書將中學數學的各個主題獨立成單元來介紹。一開始會先對「通識學習」「工作應用」「升學考試」的重要姓分別給定 1~5 顆星的建議,星數越多就越重要。在 Point 框框內的內容是本單元快速查閱的重點整理,包括公式、定理、法則的說明,並於其後有較詳細的解說。另外在 Business 區塊是本單元主題的應用領域舉例,可以幫助理解這些公式、定理可以用在哪些方面。 【目錄】 Chapter01 中學數學回顧 重點是推廣、抽象、邏輯的觀念 01 正負數 用數線來理解負數的計算 銀行貸款與溫度 02 無理數、平方根 無法用分數表示的數字 為什麼一定要把分母有理化 03 代數式 使用代數式的理由 抽象化的優點 用代數式寫程式 04 交換律、分配律與結合律 理所當然的交換律 為何代數式不使用除號 05 乘法公式與因式分解 一定要反覆練習 為什麼要做因式分解? 用因式分解來看職員的付出與公司的利益 06 一次方程式 方程式是為了求出未知數的答案(解) 求出商品價格 07 聯立方程式 聯立方程式當中存在著兩個或兩個以上的未知數 求蘋果與橘子的價格 08 比例 日常生活中的比例 什麼是座標? 09 反比例 日常生活中的反比例 速率、時間、距離公式中的比例與反比例 10 圖形的性質(三角形、四邊形、圓) 至少需要掌握的圖形基本性質 11 圖形的全等與相似 相似的意思 無法製造超大型飛機的原因 12 證明 為什麼要學證明? 證明等腰三角形的兩底角相等 13 畢氏定理 重要的畢氏定理 將畢氏定理推廣到空間圖形 電視螢幕的尺寸 Column 絕對值代表距離 Chapter02 一次、二次函數與方程式、不等式 函數可以用來做甚麼? 一次函數與二次函數的重要性 用函數圖形來思考,較容易理解方程式與不等式 01 函數及其定義 甚麼是函數? 反函數、多變數函數、合成函數 02 一次函數與圖形 一次函數的圖形為直線 斜率與截距之所以重要的理由 03 二次函數與圖形 二次函數圖形是拋物線 頂點之所以重要的原因 04 二次方程式的解法 二次方程式的三種解法 點心公司的利潤 05 二次方程式的虛數根 根號中出現負數時 價格為虛數!? 06 二次方程式的判別式、根與係數的關係 判別式是用來判斷根的狀況 快速解題 07 高次函數 函數次方數越增加,圖形就越蜿蜒 利用高次函數作資料點的擬合 08 因式定理與餘式定理 用實例去考慮因式定理就不難了 多項式的除法運算 高次多項式的解法 09 不等式的解法 在不等式兩邊乘上負數時要特別小心! 二次不等式的解法 10 不等式與滿足不等式可行解的區域 不等式與可行解區域要畫出圖形 利用線性規劃算出最大的銷售額 Column 確保網路安全的質因數分解 Chapter03 指數、對數 指數可以方便我們處理很大的數值或很小的數值 對數是指數的逆運算 01 指數 指數是為了表示大數值的技巧 求出「隼鳥號」探測器的速度 02 指數的推廣 為何要將指數推廣到非整數? 將指數推廣到無理數 03 指數函數的圖形性質 指數函數的特徵 指數函數的圖形 複利的本利和計算 04 對數函數的定義 對數是指數的逆運算 對數的好處是? 05 對數函數圖形的性質 對數函數的特徵 熵是使用對數定義出來的物理量 06 對數的換底公式 使用換底公式的例題 為何底數不能是 1 與負數? 07 常用對數與自然對數 常用對數與自然對數的性質 利用對數表來計算 如何利用電腦計算指數、對數? 08 對數圖的使用方法 對數尺度的意義 將二極體的電流-電壓特性以對數圖表示 09 指數、對數的物理單位 表示指數的單位制詞頭 分貝與地震規模 Column 數學世界的炸彈 Chapter04 三角函數 三角函數是表示波的函數 三角函數的重點 01 三角函數的基本公式 先利用直角三角形熟悉三角函數 利用「三角測量」求高度 02 三角函數的廣義角與圖形 將定義由直角三角形轉變為單位圓 描繪三角函數的圖形 利用三角函數表示波 03 三角函數的和差角公式與其他公式 讓考生哭泣的公式群 使用於智慧型手機中電波的頻率變換 04 弧度制 為什麼要使用弧度制? 用軟體或程式計算三角函數要注意角度的單位 05 正弦定理與餘弦定理 經常出題的正弦定理、餘弦定理 三角形面積公式的整理 093 06 傅立葉級數(Fourier series) 所有的波都可以用sin、cos 來理解 聲音、光與頻率的關係 07 離散餘弦變換 智慧型手機的照片中使用的三角函數 影像的壓縮方法 Column 有效位數:20 與20.00 的差異 Chapter05 微分 甚麼是微分? 可以處理無限 與積分的關係 01 極限與無限大 容易被誤解的極限 解讀函數值範圍的方法 02 導數(微分的定義) 先掌握微分的概念 03 導函數 x^n 的微分很簡單 導函數的意義 04 三角函數、指數、對數函數的微分 三角函數的微分 納皮爾常數登場 05 微分的乘積法則與鏈鎖法則 確認公式正確性的方法 將 dy/dx 當成分數處理 06 切線公式 116 知道微分後,切線就變得簡單了 利用電腦編輯曲線 07 高階導函數與函數的凹性 高階導函數 函數的凹性 08 均值定理與可微分函數 理所當然的定理? 函數可微分的意義 Column dy/dx 是分數嗎? Chapter06 積分 甚麼是積分? 利用積分求面積的方法 01 積分的定義與微積分基本定理 積分是求面積的工? 積分符號的意義 積分是微分的逆運算 02 不定積分 不定積分的求法 甚麼是積分常數 C 03 定積分的計算方法 定積分沒有積分常數 定積分的範圍與面積的正負號 04 分部積分法 分部積分是微分乘法法則的逆運算 05 變數變換法(代換積分法) 變數變換法是微分鏈鎖法則的逆運算 06 積分與體積 體積是由無限多個薄板組合成的 07 曲線的長度 曲線長度是利用分割成無限多個短直線加總 08 位置、速度、加速度的關係 牛頓的運動方程式 Column 建構微積分理論的牛頓與萊布尼茲 Chapter07 高等微積分 對高中生也有學習的幫助 微分方程式的解是函數 多變量函數的處理 01 微分方程式 微分方程式是求函數的方程式 微分方程式的解法 運動方程式、放射性元素的衰變 02 拉普拉斯變換 利用拉普拉斯變換簡單解出微分方程式 解出電子電路的微分方程式 03 偏微分與多變量函數 多變量函數的微分是偏微分 多變量函數的極大值、極小值問題 04 拉格朗日乘數法 拉格朗日乘數法的是很好用的技巧 統計分析的極大值、極小值 05 多重積分 多變量函數的積分為多重積分 由密度算出重量 06 曲線積分與曲面積分 多變量函數積分的範圍與路徑 計算每個路徑需要的能量 Column ε-δ 理論 Chapter08 數值分析 計算數值要靠演算法 處理數值的難度 01 線性逼近 用切線來逼近曲線函數 單擺的等時性也是近似值 02 泰勒展開式、馬克勞林展開式 函數以 x^n 多項式的和,來表示馬克勞林展開式 電腦的計算 03 牛頓- 拉弗森法 利用切線求方程式解的方法 收斂或發散 04 數值計算的微分(差分) 在數值計算中的微分就是差分 將腳踏車的加速資料進行微分 05 數值積分(梯形公式、辛普森積分法) 以甚麼為基準來計算面積? 指數函數的積分計算 06 微分方程式的數值解法(尤拉方法) 尤拉方法是將曲線以切線逼近 雙擺運動 Column 電腦是以 2 進位做運算 Chapter09 數列 數列與離散數學息息相關 數列的和很重要 01 等差數列 等差數列相鄰項的遞增或遞減為固定的數字 計算金字塔的石頭數量 02 等比數列 等比級數的想法 計算利潤損失的萊布尼茲係數 03 使用 Σ 記號 Σ(讀做sigma)其實很好懂 Σ記號的不同寫法 04 遞迴關係式 遞迴關係式是表示數列局部關係的式子 細胞自動機與費波納契數列 05 無限級數 將無限多個數相加,重點是能否收斂到一個唯一的值 循環小數的表示 06 數學歸納法 如同骨牌一樣的數學歸納法 數學歸納法的悖論 Column 認識希臘字母 Chapter10 圖形與方程式 將圖形用方程式表示 極座標適合處理圓形 01 直線方程式 直線方程式的圖形 在螢幕描繪直線的做法 02 圓方程式 圓方程式的意義 在螢幕描繪圓的做法 03 二次曲線(橢圓、雙曲線、拋物線) 橢圓、雙曲線、拋物線的特徵 衛星的軌道 04 平移後的圖形方程式 移動圖形的方法 電腦影像處理使用的仿射變換 05 點對稱、線對稱 對稱變換的方法 奇函數與偶函數的積分 06 圖形的旋轉 旋轉要靠三角函數 旋轉座標系中的離心力與科氏力 07 參數式 參數式有其必要 擺線的分析 08 極座標 極座標是表示方向與距離的座標系 船舶的航行 09 三維空間圖形的方程式 比較二維與三維空間 Column 數學也需要空間認知能力 Chapter11 向量 向量不只是箭頭 向量乘積有不同的定義 01 向量的定義與符號 向量是同時具有大小與方向的量 力的分解 02 向量的座標表示與位置向量 向量數值化 線段的內分點公式 03 向量的線性獨立 線性獨立與線性相依 實際數據在做座標軸轉換時的考量 04 向量內積(向量平行、垂直的條件) 向量內積的意思 物體受力移動所做的功 05 平面圖形的向量方程式 使用向量方程式的好處 06 空間向量 向量在平面與三維空間會改變與不變的性質 就算是超弦理論的九維空間也適用 07 空間圖形的向量方程式 空間圖形更容易看出向量方程式的優點 三維 CAD 資料的二維化 08 向量的外積 外積的計算結果為向量 旋轉馬達的力 09 速度向量與加速度向量 利用向量表示平面上的運動 等速率圓周運動的分析 10 梯度、散度、旋度 向量微積分並不可怕 馬克士威方程式 Column 抽象化可以表示更多的東西 Chapter12 矩陣 矩陣可以將向量做線性變換 矩陣與程式設計 01 矩陣基本運算規則 要特別注意矩陣乘法 矩陣相乘的哈達瑪積 02 單位矩陣、反矩陣、行列式 反矩陣可視為矩陣的倒數 03 矩陣與聯立方程式 利用矩陣解聯立方程式的優點 利用高斯消去法求聯立方程式的解 04 矩陣與線性變換 矩陣有利程式計算 平移的矩陣表示 05 特徵值與特徵向量 直觀理解特徵值與特徵向量 矩陣的對角化 06 三階方陣 矩陣越大,計算就越複雜 利用高斯消去法求反矩陣 Column 矩陣的用途很大 Chapter13 複數(虛數) 由實數進入複數的世界 複數擴展了科技的進步 01 複數的基礎 複數的絕對值 利用複數表示反射係數 02 複數平面與複數極式 複數適合用來表示旋轉 03 尤拉公式 結合指數函數與三角函數的公式 以複數表示交流電路 04 傅立葉變換 傅立葉變換的意義 甚麼是函數正交、函數內積 無線通訊技術與傅立葉變換 05 四元數 四元數可以擴大複數的應用範圍 3D 動畫受惠於四元數的快速運算 Column 甚麼是虛數的時間 Chapter14 機率 機率的重點是理解語意 真實世界的機率與數學的機率 01 計數原理 計數時不要少算、多算 是加法?還是乘法? 02 排列公式 有排列順序時,則使用排列公式 可重複選取的排列總數 03 組合公式 組合公式使用於不考慮排列順序的情形 重複組合 排列與組合的整理 由巴斯卡三角形推導出的二項式定理 04 機率的定義 「各種事件出現的機率均等」的問題 數學的機率與統計的機率 05 機率的加法原理 互斥表示沒有共通的部分 06 獨立事件 從獨立事件的反面理解 買尿布與買啤酒的機率 07 重複試驗 重複試驗是利用組合公式的概念 應用於風險管理的帕松分布 08 條件機率與機率的乘法原理 條件機率的分母會因條件而改變 09 貝氏定理 熟悉條件機率就更容易理解貝氏定理 判斷垃圾郵件 Column 蒙地卡羅法(Monte Carlo method) Chapter15 基礎統計 瞭解平均值與標準差就算入門統計了 常態分布是統計學上的最大發現 統計成立的前提 01 平均值 為何要算平均 所得分布的分析 02 變異數與標準差 標準差為離散程度的指標 為何要平方? 計算變異數與標準差使用的函數 製程能力指標 03 相關係數 相關係數用來表示兩種數據的相關程度 投資組合 04 機率分布與期望值 藉由實例學習機率分布 博奕的期望值 05 二項分布與帕松分布 二項分布與帕松分布的關係 擊出安打的次數、瑕疵品的個數 06 常態分布 為什麼常態分布這麼重要? 常態分布非萬能 07 偏度、峰度、常態機率圖 掌握常態分布的偏離程度 常態機率圖的使用方法 08 大數法則與中央極限定理 怎樣才算「多」? 中央極限定理:樣本平均值的分布會趨近常態分布 Column 數據是統計的基礎 Chapter16 統計進階 統計需要電腦幫忙 統計推論是藉由抽樣來推論母體 迴歸分析可以預測未來 01 母體平均數的區間估計 由樣本統計值估算母體平均值 成年男性的平均身高 02 母體比率的區間估計 由樣本統計值估算母體平均 電視節目的收視率 03 假設檢定 工廠間的產品差異 04 單變量迴歸分析 迴歸分析的意義 活動的效果 05 多變量迴歸分析 多個自變數的迴歸分析稱為多變量迴歸分析 氣候條件與農作物收穫量的關係 06 主成分分析 主成分分析的目的 品牌印象調查 07 因素分析 因素分析著重於意義的解釋 顧客問卷的分析 Column 數據是最大的敵人
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【簡介】 本書是程式設計教科書暢銷作家洪維恩老師最新著作,經課堂實戰教學淬練,學生試讀試做習題回饋,規劃出適當學習節奏、自學/課堂授課均適用的 Python 入門學習教材,涵蓋多項特色,包括: \ Visual Studio Code×Jupyter 雙環境教學 // 以 Visual Studio Code 搭配內建 Jupyter 環境教學,單行形式小範例講解語法、函式用法等細節,可在 Jupyter 快速輸入程式碼驗證。學習到一小段落後,再搭配大範例使用 Visual Studio Code 執行獨立 .py 程式檔綜合應用,既可反覆練習刻印學習內容,也能夠體悟實際用途。 \ 程式碼與解說對頁編排、易學易讀不卡頓 // 全書編排考量易讀性,範例以不跨頁為原則,程式碼與解說盡量安排在左右對頁,避免前後來回翻閱查找,只要攤開書頁,即可左右對照閱讀。對於抽象或是較為複雜的觀念,也搭配精心設計圖解,協助快速理解。像是 NumPy 裡多維度的資料概念,就提供立體圖解,不用自己在腦中費力想像。 \ 從基本語法到應用主題通包 // 除變數、流程控制、容器、函數、物件導向的類別與繼承、檔案、異常處理等必學的基本語法外,也涵蓋機器學習與資料科學的共同基礎套件--NumPy 矩陣科學運算、Matplotlib 資料繪圖視覺化與 Pandas 資料處理分析,以及用途最廣的 BeautifulSoup 網路爬蟲與 Skimage 影像處理。 \ 完整習題解答與教師專用題庫 // 本書提供依照章、節編排近 300 題的自我練習題,題目本身含解題指引,可先複習相關內文再嘗試解題,並且附有完整習題解答,學到哪裡、練到哪裡,最適合自學或是課後自我驗證學習成果。另外也提供學校用書授課老師專屬題庫,同樣以章節編排,可適度輔助課後作業或是階段測驗,並搭配有經實際授課驗證的投影片,教學節奏最流暢。 \ 關鍵概念深度剖析 // 對於初學者容易卡關的地方,像是可變與不可變的物件、可雜湊與不可雜湊的物件,淺層拷貝與深層拷貝、遞迴函式、參數的傳遞等,都有相當篇幅的解說,讓學習者能夠清楚來龍去脈,而不只是照著生硬的規則套用,即使遇到問題也能依循學到的觀念解學。 本書特色 □ 每章末均有豐富習題與完整解答驗證學習成效 □ 另有教師專用題庫搭配檢視教學成果 □ 採用 VScode、Github Copilot 業界工具 □ 從基本語法到 NumPy、Matplotlib、Pandas、網路爬蟲應用 □ 簡短小範例在 VSCode 內用 Jupyter 即時驗證,快速理解觀念 □ 完整範例檔用 VSCode 執行,學習實務應用情境 □ 精心設計圖解,資料結構、抽象觀念一目了然 □ Python Tutor 視覺化呈現執行過程,追蹤迴圈、遞迴、函數呼叫最佳幫手 □ 利用 Github Copilot 輔助除錯,熟悉 AI 世代開發流程 【目錄】 第一章 認識 Python 1.1 Python 簡介 1.2 下載與安裝 Python 1.3 安裝與設定 VS Code 1.4 使用 VS Code 執行 Python 程式 1.5 開始進入 Python 的世界 1.6 使用內建的 AI 功能─Copilot 第二章 資料型別、變數與運算子 2.1 簡單的資料型別 2.2 變數與常數 2.3 常用的運算子 2.4 變數的設值與運算的優先順序 2.5 型別轉換 2.6 不同進位整數的轉換 2.7 輸出與輸入函數 2.8 關於浮點數計算時的誤差 第三章 數值、字串與串列的處理 3.1 數值運算 3.2 random 模組裡的函數 3.3 字串的處理函數 3.4 字串類別提供的函數 3.5 串列與相關的處理函數 第四章 流程控制:選擇性敘述與迴圈 4.1 選擇性敘述 4.2 for 迴圈 4.3 while 迴圈 4.4 break、 continue 和 pass 敘述 4.5 帶有 else 的迴圈 4.6 串列推導式 第五章 函數 5.1 函數的基本概念 5.2 參數的傳遞機制 5.3 關於參數的傳入 5.4 全域變數與區域變數 5.5 遞迴函數 5.6 lambda 表達式 5.7 函數的進階應用 第六章 容器資料型別 6.1 list 資料型別 6.2 tuple 資料型別 6.3 set 資料型別 6.4 dict 資料型別 第七章 物件導向程式設計 7.1 類別的基本概念 7.2 類別裡的函數 7.3 繼承與多型 7.4 類別的封裝 第八章 檔案、異常處理與模組 8.1 檔案處理 8.2 異常處理 8.3 模組與套件 第九章 使用 NumPy 套件 9.1 初探 NumPy 陣列 9.2 陣列元素的提取 9.3 陣列的進階處理 第十章 NumPy 的數學運算 10.1 基本運算 10.2 陣列的進階運算處理 10.3 統計處理與資料排序 10.4 數學矩陣的相關運算 10.5 廣播運算 10.6 儲存 NumPy 陣列 第十一章 使用 Matplotlib 繪圖套件 11.1 Matplotlib 繪圖的基本認識 11.2 二維繪圖的修飾 11.3 填滿繪圖與極坐標繪圖 11.4 統計繪圖 11.5 等高線圖與三維繪圖 11.6 動畫的製作 第十二章 使用 Pandas 處理數據資料 12.1 一維的 Series 12.2 二維的 DataFrame 12.3 Pandas 的元素操作與運算 12.4 排序與統計函數 12.5 Pandas 的繪圖 12.6 存取 csv 檔與 pickle 檔 第十三章 網路爬蟲入門 13.1 認識網路爬蟲 13.2 使用 requests 發送 GET 請求 13.3 解析 HTML 與安裝 BeautifulSoup 13.4 實作:擷取網頁特定資訊 13.5 爬取 PTT 寵物板 第十四章 使用 Skimage 進行圖像處理 14.1 圖像的基本概念 14.2 圖像類型、儲存與色表應用 14.3 基礎圖像處理 14.4 進階圖像處理 14.5 圖像修復 附錄 A: 使用 Jupyter Notebook A.1 安裝 Jupyter 擴充功能 A.2 鍵入程式碼 A.3 儲存格的選取、複製、移動與刪除 A.4 存檔與離開 Jupyter Notebook A.5 Markdown 語法 A.6 於 Jupyter Notebook 裡製作目錄 附錄 B: Colab 的使用 B.1 啟動 Colab B.2 鍵入程式碼與文字儲存格 B.3 儲存格的選取、複製、移動與刪除 B.4 存檔與離開 Colab B.5 設定更舒適的操作環境 B.6 使用 Colab 的 AI 輔助學習 Python B.7 在 Colab 存取雲端硬碟裡的檔案 附錄 C: ASCII 碼表 英文索引
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