美麗的數學王國門口有兩根壯碩的大柱子，其中一根為非線性的微積分，而另一根則為線性的線性代數。這兩根大柱子射出美麗的光芒，照耀了數學王國的代數、幾何、分析、物理、工程和經濟，這些光芒不僅提供了它們養分，還幫助它們成長。 　　數學有五要素：實數、歐式空間、函數、不等式和公理。實數和歐式空間為數學的身體，像電腦的硬體一樣，而函數、不等式和公理為數學的靈魂，像電腦的軟體一樣。電腦一定要有 硬體，但是有了硬體，還是不能動，尚需要軟體，才能運作，本書詳細介紹實數、歐式空間、函數、不等式和公理。 　　這本數學分析基礎，涵蓋非線性的微積分和線性的線性代數，還涵蓋微分方程，此書共計有1,164頁。書中含有目錄、索引、Index、圖像和各式各樣的題目，我們將完整的習題解答，錄成CD，附置於書後。 　　本書中除了詳細介紹一維微積分外，更詳細介紹二維和三維的多變數分析，因為二維和三維最為其體，且最有感覺。了解二維和三維分析，一方面可以檢驗一維分析，而另一方面則可以學習四維以上之高等微積分，建議先念本書，再念高等微積分。 　　本書對每一定理和重要概念，都指出其原由和應用。本書每一章還會介紹一節數學家有趣的生平，所謂蹲下來為的是要跳得更高，閱讀完該節後，相信讀者又可以體力充沛地繼續學習下面的章節了。 　　這一本數學分析基礎，是由著者在國立清華大學教了三十餘年的微積分講義補編而成，希望在臺灣能成為一本有意義的教科書和課外讀物。 目錄 1實數、函數和數列的定義、不等式和經典公理1 11實數1 12函數和數列的定義18 13不等式25 14經典公理30 15歷史上第一個大數學家畢達格拉斯38 16習題40 2函數的極限43 21函數的運算43 22函數極限的定義45 23函數極限的定理48 24右極限和左極限56 25函數極限存在和不存在的例子63 26蘇格拉底、柏拉圖和亞里士多德81 27習題84 3函數的連續87 31函數連續的定義87 32連續函數三大優異定理93 33連續函數六大經典定理97 34連續和不連續函數的例子105 35大數學家阿基米德113 36習題 ix115 4函數的導數119 41函數導數的概念119 42函數導數的定義120 43函數導數三大基本定理124 44均值定理130 45可微函數與其導函數之間彼此關係密切137 46可微和不可微函數的例子141 47數學家笛卡兒之網路故事151 48數學家笛卡兒152 49習題156 5導函數的應用161 51曲線的切線斜率、切線方程和法線方程161 52均值定理的應用163 53函數的增滅、極值、凹凸、反曲點和漸近線166 54畫函數的圖形185 55法國大數學家費馬188 56瑞士馬特洪峰191 57習題192 6函數的積分195 61可積函數198 62積分運算定理210 63積分均值定理222 64微積分基本定理224 65積分的應用—求面積和體積226 66數學家巴斯卡232 7初等函數237 71反函數定理238 72三角函數和反三角函數241 73對數函數253 74指數函數261 75雙曲函數和反雙曲函數266 76通世數學家牛頓273 77習題275 8積分法277 81分部積分法277 82變數變換積分法281 83部份分式積分法284 84三角函數積分法286 85三角函數替換積分法292 86數學大師歐伊勒295 87習題297 9數列301 91收斂數列定理301 92發散數列運算定理314 93上極限和下極限319 94一筆畫326 95習題327 10級數331 101收斂級數和發散級數331 102正項級數340 103廣義交錯級數348 104絕對收斂級數352 105數學王子高斯356 106習題359 11泰勒理論361 111泰勒定理的自來361 112泰勒定理363 113泰勒級數369 114馬克勞林級數370 115泰勒定理救人一命。379 116天才數學家歌洛怡380 117習題382 12數值方法383 121牛頓求根法385 122壓縮映射定理求定點法390 123n次逼近求函數值法393 124弦梯積分法395 125辛浦森積分法397 126千山獨行，壁創宇宙大業─愛因斯坦400 127習題404 13函數極限的推廣、不定型、瑕積分和Γ函數405 131函數極限的推廣405 132不定型407 133瑕積分414 134Γ函數428 135法國龐加萊和德國希爾伯特432 14函數列和函數級數437 141函數列437 142函數級數450 143數學家在哪裡思考數學？461 144習題463 15線性空間、線性變換與矩陣空間和歐氏空間467 151線性空間467 152線性變換空間與矩陣空間483 153歐氏空間504 154黃金比例數524 155習題526 16二變數純量函數的極限和連續529 161二變數純量函數的極限529 162二變數純量函數的連續538 163數學家陳省身555 164習題556 17向量函數的極限和連續557 171一變數向量函數的極限557 172一變數向量函數的連續562 173向量場的極限567 174向量場的連續570 175國際數學聯合會和國際數學家會議575 176習題580 18二變數純量函數的微導583 181全導數、方向導數、偏導數、梯度和微分583 182全導數鏈法則600 183均值定理601 184隱函數定理602 185高階偏導數和泰勒定理604 186極值和鞍點611 187拉格宏機乘子定理618 188鳥和青蛙621 189習題627 19向量函數的微導629 191單變數向量函數的微導629 192向量場的微導640 193美國普林斯頓大學。652 194習題654 20重積分655 201二重可積函數655 202二重積分運算定理669 203二重積分均值定理680 204微分與積分682 205有界集上的二重積分687 206三重積分687 207開發新領域693 208習題694 21重積分之計算與應用697 211二重積分之計算與應用697 212三重積分之計算與應用729 213數學的嚴謹與抽象737 22純量場和向量場的線積分與面積分741 221純量場、向量場、散度、旋度和梯度741 2222維純量場和向量場的線積分746 2233維純量場和向量場的線積分780 224純量場和向量場的面積分785 225多變數微積分基本定理803 226解決持久問題809 227習題810 23微分方程813 231初值微分方程和積分方程813 232一階微分方程815 233初值微分方程組和向量積分方程823 234二階微分方程825 235數學的力與美839 236習題841 索引842 Index861